Diskite:Teorèm Fatou

pou tradui

Le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Il s'énonce comme suit :

Soient $(E,{\mathcal {E}},\mu )$ un espace mesuré, et $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions de $E$ dans $\mathbb {C}$.

Hypothèses :

• Pour tout entier $n$, $f_{n}$ est ${\mathcal {E}}$ mesurable.

• La suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge $\mu$ presque partout sur vers une fonction $f$ (qui est donc mesurable).

• (Hypothèse de domination) Il existe une fonction $\rho :E\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ $\mu$ intégrable telle que : pour tout entier $n$, $|f_{n}|\leq \rho$ presque partout.

Conclusions :

La fonction $f$ est $\mu$ intégrable, et on a la formule : $\lim _{n\to \infty }\int _{E}|f_{n}-f|d\mu =0$

c’est-à-dire que la suite $(f_{n})$ converge vers $f$ au sens de l'espace $\mathbf {L} ^{1}(\mu )$

De plus on a : $\lim _{n\to \infty }\,\int _{E}{\,f_{n}d\mu }=\int _{E}{\,f}d\mu$

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité la deuxième hypothèse peut être affaiblie en

• La suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge en probabilité vers une fonction mesurable $f$.

Démonstration

La preuve s'appuie principalement sur le lemme de Fatou. On commence par montrer que f est intégrable. Pour tout ε > 0, $\mu (|f|\geq |\rho |+\varepsilon )\leq \mu (|f-f_{n}|\geq \varepsilon )\rightarrow 0$ pour $n\rightarrow \infty$. Donc $\mu (|f|\geq |\rho |+\varepsilon )=0$ pour tout ε. On obtient $\mu (|f|\leq |\rho |)=1$. Donc f est intégrable.

Pour tout ε > 0, on a

$\int _{E}|f_{n}-f|d\mu =\int _{E}|f_{n}-f|I_{|f_{n}-f|>\varepsilon }d\mu +\int _{E}|f_{n}-f|I_{|f_{n}-f|\leq \varepsilon }d\mu \leq 3\int _{E}|\rho |I_{|f_{n}-f|>\varepsilon }d\mu +\varepsilon .$

Soit $A_{n}={|f_{n}-f|>\varepsilon }$. L'intégrale précédente se décompose en

${\begin{matrix}\int _{E}|\rho |I_{|f_{n}-f|>\varepsilon }d\mu &=&\int _{E}|\rho |I_{|\rho |>u_{n}}I_{A_{n}}d\mu +\int _{E}|\rho |I_{|\rho |\leq u_{n}}I_{A_{n}}d\mu \\&\leq &\int _{E}|\rho |I_{|\rho |>u_{n}}d\mu +u_{n}\mu (A_{n}),\end{matrix}}$

où $u_{n}=[\mu (A_{n})]^{-1/2}\rightarrow +\infty$ pour $n\rightarrow \infty$.

Par le lemme de Fatou, cette dernière intégrale converge vers 0, ce qui permet de conclure à la convergence vers 0 de $\int _{E}|f_{n}-f|d\mu .$

 

Exemple d'application

Si $f\in L^{1}(\mathbf {R} )$, sa transformée de Fourier ${\widehat {f}}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-ixy}dx$ est continue La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque $\vert f(x)e^{-ixy}\vert =\vert f(x)\vert$; le théorème de convergence dominée permet de voir que ${\widehat {f}}\,$ est séquentiellement continue.

Voir aussi

• Théorème d'interversion série-intégrale
• Théorème de convergence monotone

Convergence dominée Catégorie : Théorie de la mesure

de:Satz von der majorisierten Konvergenz en:Dominated convergence theorem he:משפט ההתכנסות הנשלטת pl:Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej ru:Теорема Лебега о мажорируемой сходимости