Notasyon (matematik)

Yon ansanm notasyon yo itilize nan matematik pou kondanse e formalize enonse ak demonstrasyon. Notasyon sa yo te parèt piti a piti sou istwa matematik ak aparisyon konsèp ki asosye avèk notasyon sa yo. Yo pa totalman ofisyèl.

Lè de (2) tradiksyon yon notasyon yo bay, youn se tradiksyon mo-pou-mo ak lòt la se tradiksyon natirèlla.

Atik sa a gen rapò ak notasyon matematik latin lan. Gen lòt notasyon ki pa latin nan matematik tankou notasyon matematik arab modèn.

Genyen tou notasyon matematik pou avèg yo.

Entwodiksyon

Tankou nenpòt ki Langaj fòmèl, yon notasyon matematik gen pou objektif pou retire anbigwite a (sitou lengwistik) nan yon pwopozisyon. Li dekonpoze li nan yon ansanm limite senbòl avèk yon ajansman ki ka gen yon sèl siyifikasyon.

Pa egzanp, pou di sa $x$ vo youn, nou pral itilize : $x=1$ .

Langaj sa a syantifik pèmèt tou, nan yon limit pi piti, fasilite kominikasyon ant matematisyen ki pa pale menm lang lan. Si li pa konplètman ranplase langaj natirèl la, li pèmèt yo eksprime konsèp matematik yo ki pi konplèks nan yon fòm ki se prèske idantik nan anpil lang ak kilti, konsa evite malantandi yo sou konsèp yo matematik, pa moun ki pa metrize tout sibtilite gramatikal ak sentaksik lang kominikasyon an itilize.

Menm nan fanmi kiltirèl lè li sèvi avèk notasyon matematik latin, sèten konsèp nan langaj fòmèl sepandan rete espesifik nan yon basen lengwistik. Se konsa, nan literati matematik ekri nan lang franse, asèsyon an $A\subset B$ vle di "A ansanm la se yon sou-ansanm nan B oswa ki egal a B". Lè nou konsidere ke nan literati matematik la ekri nan lang angle, li pral vle di plito "ansanm lan A se yon sou-gwoup estrik nan B".

Lis senbòl sa yo pa konplè. Sepandan, tout senbòl yo prezante isit la yo te itilize inivèsèl nan literati matematik ekri nan lang franse.

Operatè lojik yo

Gade atik detaye : Kalkil pwopozisyon

$\neg$ , pa gen okenn.
$\land$ , ak.
$\lor$ , oswa.
$\Rightarrow$ , enplike.
$\Leftrightarrow$ , egal.

Ansanm

Modèl:Voir Yon ansanm reprezante yon koleksyon objè. Objè ki nan koleksyon an se eleman ki nan ansanm a.

Definisyon yon ansanm

Yon ansanm ka defini :

nan konpreyansyon, setadi pa yon pwopriyete karakteristik nan mitan eleman yo nan yon ansanm. Pou egzanp { n∈N∣n pair } (ansanm tout nonm pè) ;
kòm yon imaj dirèk. Pou egzanp, se mete anwo a tou ekri {2m∣m ∈ N}.

Relasyon sou ansanm

$\in$ , apatnans.
- n apatni (fè pati) ansanm antye natirèl yo.
- n se yon antye natirèl.

n\in \mathbb {N}

Apatnans se yon relasyon ki lye yon eleman ak yon ansanm.

$\subset$ , enklizyon .
- $\mathbb {Z}$ enkli nan $\mathbb {Q}$ .
- Nonm antye relatif yo se rasyonèl.

\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}

Yon ansanm enkli nan yon lòt si e sèlman si tout eleman li yo se eleman nan lòt la.

Operasyon sou ansanm

, Entèseksyon.
, Inyon.

Ansanm abityèl yo

$\mathbb {N}$ oswa N ^[1], ansanm antye natirèl.
$\mathbb {Z}$ oswa Z, ansanm antye relatif yo.
$\mathbb {D}$ oswa D, ansanm nonm desimal.
$\mathbb {Q}$ oswa Q, ansanm nonm rasyonèl.
$\mathbb {R}$ oswa R, ansanm nonm reyèl.
$\mathbb {R} _{+}$ , ansanm nonm pozitif oswa nil.
$\mathbb {R} _{-}$ , ansanm nonm reyèl negatif oswa nil.
$\mathbb {C}$ oswa C, ansanm nonm konplèks.
$\mathbb {H}$ oswa H, ansanm nonm kwatènyon.
$\mathbb {P}$ oswa P, ansanm nonm premye.
$\mathbb {N} ^{*},\mathbb {Z} ^{*},\mathbb {D} ^{*},\mathbb {Q} ^{*},\mathbb {R} ^{*},\mathbb {R} _{+}^{*},\mathbb {R} _{-}^{*},\mathbb {C} ^{*}$ , menm ansanm yo prive nan zewo.
$A^{\times }$ , ansanm eleman envèsib de yon ano $A$ . Pou egzanp, $\mathbb {Z} ^{\times }=\{-1,1\}$ ak $\mathbb {D} ^{\times }=\{\pm 2^{a}5^{b}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ , tandike si $A$ se yon kò (kòm $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ oswa $\mathbb {C}$ ) $A^{\times }=A^{*}$ .

Kantifikatè

Gade kalkile predika pou yon pwen de vi plis teyorik sou notasyon sa yo.

Pou tout bagay

Notasyon

$\forall$ , pou tout bagay, kèlkeswa sa .

Egzanp

$\forall n\,(n\in \mathbb {N} \Rightarrow n\geq 0)$
Kèlkeswa n se yon antye natirèl, n pi gran pase oswa egal a zewo.

$\mathbb {N}$ minore pa zewo.
$\forall n\in \mathbb {N} \quad n\geq 0$
Fòm kondanse.
$\forall a\in \mathbb {R} \,\left((a\leq 0\land a\geq 0)\Rightarrow a=0\right)$
Pou tout reyèl a, si a se mwens pase oswa egal a zewo epi si a se pi gran pase oswa egal a zewo, donk, a se nil.

Nenpòt reyèl, tou de pi gran pase oswa egal a zewo ak mwens pase oswa egal a zewo, se nil (zewo).

Genyen

Notasyon

$\exists$ , li egziste (omwen youn).

Egzanp

$\exists n\quad n\in \mathbb {N}$
Gen yon eleman nan $\mathbb {N}$ .

$\mathbb {N}$ pa vid.
$\exists x\,\left(x\in \mathbb {R} \land x\geq 1\right)$
Gen yon x reyèl ki x se pi gran pase oswa egal a youn .

$\mathbb {R}$ pa majore (ogmante) pa 1.
$\exists x\in \mathbb {R} \quad x\geq 1$
Fòm kondanse.

Egzanp jeneral

$\forall n\in \mathbb {N} \quad \exists m\in \mathbb {N} \quad m\geq n$
Pou tout nonm antye relatif natirèl n, egziste yon lòt nonm antye natirèl m sa yo ki pi gran pase oswa egal a n.

Tout antye natirèl se mwens pase oswa egal a omwen yon lòt antye natirèl.
$\exists m\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad m\geq n$
Gen yon nonm antye natirèl m konsa ke kèlkeswa sa nonm antye natirèl la n, m se pi gran pase n.

$\mathbb {N}$ majore .

Li te note ke lòd kantifikatè se enpòtan : premye pwopozisyon an se vre, lòt la se fo.

$\forall (a,l)\in \mathbb {R} ^{2}\quad \exists f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \quad \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists \alpha \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall x\in [a-\alpha ,a+\alpha ]\quad |f(x)-l|\leq \epsilon$
Pou tout reyèl a e l, gen yon aplikasyon f nan $\mathbb {R}$ nan $\mathbb {R}$ kòm f gen tandans pou l nan a .

Gen yon inik

Notasyon an $\exists !$ vle di gen yon sèl ... (oswa gen yon sèl e yon sèl. . . ). Kantifikatè sa a defini apati kantifikatè presedan yo ak egalite a. Pou P (x) yon pwopriyete x :

∃! x P ( x ) egal pa definisyon ∃ x [P ( x ) ∧ ∀ y (P ( y ) = y = x )]

oswa ekivalan :

∃! x P (x) ki ekivalan a ∃ x P (x) ∧ ∀ x ∀ y [(P (x) ∧ P (y)) ⇒ y = x].

Egzanp: $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\ \exists !y\in \mathbb {R} ^{*}\ xy=1$; Pou tout x reyèl pa nil, gen yon inik reyèl y ki pa nil, konsa pwodui xy egal a 1.; Nan lòt mo, x gen yon envès inik pou miltiplikasyon.

Senbòl aritmetik

Senbòl sa yo te itilize pou senplifye ekri seri long yo (pa egzanp pa evite itilize pwen). Se itilize nan chak ka yon varyab , rele varyab bèbè, ki pral pran valè nan yon ansanm espesifik. Lè sa a varyab bèbè pral pèmèt deskripsyon yon tèm jenerik mete aprè senbòl la.

Sòm

Atik detaye Sòm (aritmetik)

\sum

(Lèt grèk : kapital sigma)

Egzanp

si $n$ se yon nonm antye estrikteman pozitif :

\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

isit

k

se varyab la bèbè, li pran valè li yo nan ansanm

[1,n]

(ansanm nonm antye yo). Tèm jeneral sòm sa a se

k^{2}

.

$\Omega$ se ansanm nonm antye pè pozitif

\sum _{k\in \Omega ,\ k<50}k^{2}=\sum _{k=0}^{24}(2k)^{2}

isit

k

fè pati yon ansanm defini pa de (2) kondisyon yo : eleman li yo se nonm antye pozitif pè epi yo estrikteman pi piti pase 50

Egzanp sòm enfini :

\forall x\in \mathbb {R} ,\ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}

Nou te ka ekri nan yon fason mwens kondanse :

1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots +{\frac {x^{k}}{k!}}+\dots =e^{x}

Pa konvansyon, yon sòm endekse pa ansanm vid la se zewo.

Pwodui

\prod

(Lèt grèk : Kapital Pi )

Se senbòl sa a yo itilize nan yon fason ki sanble ak senbòl la sòm.

Egzanp: $\prod _{k=1}^{n}\exp(k^{2})=\exp \left(\sum _{k=1}^{n}k^{2}\right)=\exp \left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)$; Nou te ka ekri nan yon fason mwens kondanse :; $\exp(1^{2})\cdot \exp(2^{2})\cdot \exp(3^{2})\cdot \ldots \cdot \exp(n^{2})=\exp \left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)$

Pa konvansyon, yon pwodui endekse pa ansanm vid la se 1.

Faktoryèl

!

(pwen esklamasyon)

Sa a se yon ka patikilye nan pwodui :

n!=\prod _{1\leq k\leq n}k

(kote n ak k yo enplisitman sipoze gen nonm antye ).

Nan lòt mo,

si nonm antye n se estrikteman pozitif :

n!=1\times 2\times 3\dots \times n

si li se negatif ^[2] oswa nil, n ! = 1.

Bibliyografi

(en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover Publications, 1993, 820 paj ((ISBN 9780486677668))

Gade tou

Tablo senbòl matematik yo
Lis abrevyasyon nan matematik
Lojik matematik

Referans

↑ Composition des textes scientifiques - Texte présenté par l'Éducation nationale (France) pour normaliser les sujets d'examen, p. 3.
↑ Avec la définition du produit vide ; en réalité, on préfère garder n! non défini si n est négatif, pour conserver l'équation fonctionnelle ; voir fonction Gamma

Lyen deyò

[1] Composition des textes scientifiques - Texte présenté par l'Éducation nationale (France) pour normaliser les sujets d'examen, p. 3.

[2] Avec la définition du produit vide ; en réalité, on préfère garder n! non défini si n est négatif, pour conserver l'équation fonctionnelle ; voir fonction Gamma

[1]

[2]