Sistèm binè

Sistèm binè (ki soti nan Latin binārĭus, "doub") se sistèm nimewotasyon ki sèvi ak baz 2. An jeneral, nou rele bit (ki soti nan angle (en) binary digit, oswa "chif binè") chif nan nimewo binè pozisyon. Yon ti jan ka pran de valè, ki endike pa konvansyon 0 ak 1.

Egzanp enfòmasyon binè.

Sistèm binè a itil pou reprezante operasyon elektwonik dijital yo itilize nan òdinatè. Se poutèt sa, langaj pwogramasyon ba nivo yo itilize li.

Definisyon

Paj ki dekri sistèm binè Leibniz la.

Sistèm binè ki pi komen an se baz Matematik, ki pèmèt nonm yo reprezante lè l sèvi avèk nimewo pozisyon ak sèlman de chif: 0 ak 1.

Nan kalite kodaj sa a, chak nimewo reprezante inikman pa yon sekans chif òdone. Epi chak pozisyon m reprezante yon pouvwa (m - 1) nan baz. Si okòmansman nou limite tèt nou a nimewo antye pozitif, nan baz dis pouvwa sa yo se: youn (1), dis (reprezante pa 10), san (dis fwa dis , reprezante pa 100) , mil (dis fwa yon santèn, reprezante pa 1000), dis mil, elatriye. Nan baz de, pouvwa sa yo se: youn (1), de (tou reprezante pa 10), kat (de fwa de, reprezante pa 100), uit (de fwa kat, reprezante pa 1000), sèz (de fwa uit, reprezante). pa 10000), elatriye.

Nou wè siyifikasyon reprezantasyon 10, 100, 1000, elatriye. depann de baz yo itilize a: 10 toujou egal ak baz la, sa vle di dis nan baz dis, men de nan baz de.

Nan baz dis, nou itilize dis chif, soti nan zewo a nèf; nan baz n, nou itilize n chif, soti nan zewo rive nan n – 1; kidonk nan baz de nou itilize de chif "0" ak "1".

Yon nimewo ki eksprime nan baz B pa kat chif 1101 yo analize:

$1\times B^{3}+1\times B^{2}+0\times B^{1}+1\times B^{0}$, ki bay :

1101 nan baz B = 10 :	$1\times 10^{3}$	$+1\times 10^{2}$	$+0\times 10^{1}$	$+1\times 10^{0}$	$=1101$
1101 nan baz B = 8 :	$1\times 8^{3}$	$+1\times 8^{2}$	$+0\times 8^{1}$	$+1\times 8^{0}$	$=577$
1101 nan baz B = 2 :	$1\times 2^{3}$	$+1\times 2^{2}$	$+0\times 2^{1}$	$+1\times 2^{0}$	$=13$

Enimerasyon premye nimewo yo

Premye nimewo yo, ak chif nan baz nimewo 10, ekri:

desimal	binè	kòmantè
0	0	zewo
1	1	youn = baz nan pouvwa zewo (valab pou tout baz, kidonk de ak dis)
2	10	de = de nan pouvwa a nan yon sèl (yon zewo dèyè 1 a)
3	11
4	100	kat = de nan pouvwa de (de zewo dèyè 1 a)
5	101
6	110
7	111
8	1000	uit = de ak pouvwa twa (twa zewo dèyè 1)
9	1001

Nou bay chak bit yon puisans de, tankou sekans sa a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Pou jwenn nimewo 7, nou ajoute twa premye bit yo; pou jwenn 6, nou sèlman ajoute siyifikatif bit 4 ak siyifikatif bit 2.

Operasyon

Teknik pou kat operasyon debaz yo (adisyon, soustraksyon, miltiplikasyon ak divizyon) rete ekzakteman menm ak notasyon desimal; yo jis senplifye drastikman paske gen sèlman de chif yo 0 ak 1. Pou miltiplikasyon pa egzanp, kèlkeswa baz la, miltiplikasyon pa 10 (sa vle di pa baz la li menm) fè lè w ajoute yon zewo sou bò dwat la.

Se sèlman fòm sekans nimewo ki eksprime rezilta a (li konte sèlman zewo ak yon sèl) chanje, sou yon bò, epi sou lòt bò siyifikasyon sekans sa a (10 vle di "de" epi pa "dis", 100). vle di "kat" epi yo pa "san", elatriye).

Adisyon ak soustraksyon

Nou ale soti nan yon nimewo binè nan pwochen an lè nou ajoute 1, tankou nan desimal, san nou pa bliye dediksyon yo epi sèvi ak tablo òdinè a (men redwi a ekspresyon ki pi senp):

  0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 ak 1 pote
  0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 ak 1 pote 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0

Nou wè ke adisyon de bit A ak B bay A XOR B ak yon valè pote nan A AK B.

Se konsa:

    11
   + 1
  ____
   100

Detay:

 1 + 1 = 10 => nou mete 0 epi kenbe 1
 1 + 1(kenbe) = 10 => nou mete 0 epi kenbe 1
 0 + 1(retni) = 1 => nou mete 1 devan 00

Miltiplikasyon ak divizyon

Miltipliye pa de se fè chak chif yon kote sou bò gòch la epi mete yon zewo nan fen an.
Pa egzanp, de fwa onz:

  1011 onz
 //// chanje epi mete 0
 10110 vennde

Divizyon nonb antye relatif pa de fè lè w deplase chak chif yon sèl dan sou bò dwat la, chif ki sou bò dwat la se rès la efase.
Pa egzanp onz divize pa de:

 1011 onz
 \\\ chanjman epi efase chif a dwat
  101 senk rete youn

Teyori òdinatè

Sistèm elektwonik ki pi komen yo (kalkilatè, òdinatè, elatriye) itilize aritmetik binè (plis tou senpleman kalkil binè) paske de nimewo 0 ak 1 tradui nan vòltaj oswa koule nan yon kouran. Pou egzanp, 0 ka reprezante pa eta a ki ba (zewo vòltaj oswa aktyèl) ak 1 pa eta a wo ^{[Referans nesesè]} (vòltaj ki egziste, kouran ki pase).

Reprezantasyon nonm antye relatif negatif

Pou w konplete reprezantasyon nonm antye yo, ou dwe kapab ekri nonm antye yo negatif. De reprezantasyon egziste, konpleman youn ak konpleman de.

Verifikasyon obligatwa

Anvan kode ak nenpòt ki konpleman, li nesesè verifye kantite kòrèk la nan Bits yo te itilize kode nimewo a kòm yon nimewo binè siyen.

Nimewo a nan bit se ase si epi sèlman si li satisfè ekwasyon an kote n koresponn ak kantite bit ak N nan nimewo a dwe kode.

$-2^{n-1}\leq N\leq 2^{n-1}-1$

$2^{n-1}-1$ koresponn ak kantite karaktè posib (1 se soustraksyon nan 2n depi nou konte soti nan 0) pandan y ap rezève yon ti jan pou siy la.

Konpleman youn nan

Kodaj sa a konsiste de envèse valè chak bit.
Pa egzanp pou jwenn −7:

 0111 septanm
 1000 mwens sèt

Yon defo nan sistèm sa a se ke zewo gen de reprezantasyon: 0000 ak 1111 ("+0" ak "-0"). Li pa itilize pa òdinatè aktyèl yo, men yo te itilize pa ansyen òdinatè tankou Control Data 6600. De reprezantasyon zewo konplike sikui tès yo.

Konpleman de a

Konpleman De a konsiste de fè konpleman yon sèl, Lè sa a, ajoute 1.
Pa egzanp pou jwenn −7:

 0111 septanm
 1000 konpleman yon sèl la
 1001 konpleman de lè w ajoute 1

Kodaj sa a gen avantaj nan pa mande diferans espesyal nan nimewo pozitif ak negatif, epi an patikilye evite pwoblèm nan nan reprezantasyon doub nan zewo.

Isit la se yon adisyon nan -7 ak +9 ki fèt nan konpleman de a sou 4 bit:

 -7 1001
 +9 1001
 __ ____
  2 (1) 0010 (nou "inyore" dediksyon an)

Avèk n bit, sistèm sa a fè li posib pou reprezante nimewo ant −2ⁿ⁻¹ ak 2ⁿ⁻¹ − 1 .

Ant baz 2, 8 ak 16

Soti nan binè oktal oswa egzadesimal

Baz 8 (oktal) ak 16 (egzadisimal) se baz pouvwa baz 2. De baz sa yo souvan itilize nan informatique pou rezon pratik: nimewo ki ekri nan baz sa yo pi "manibl" pa moun paske yo ekri pi kout epi sa a. li fasil jwenn lè gwoupe chif yo lè w ekri nimewo a nan baz 2.

• Octal: baz 8 = 2³. Senpleman ale nan nimewo binè a de dwat a goch lè w gwoupe chif binè 3 pa 3: chak pake 3 (dènye a pafwa oblije ranpli pa 0 sou bò gòch la) se ekriti binè yon chif nan baz 8 (0). ₈ = 000, 1₈ = 001, 2₈ = 010, 3₈ = 011, 4 _>8 = 100, 5₈ = 101, 6₈ = 110, 7₈ = 111).
  • Y ap ekri 10101101110₂ 10 101 101 110 epi lè nou konvèti valè chak blòk yo nan yon chif oktal, nou jwenn nimewo oktal 2556₈.
• Egzadesimal: baz 16 = 2⁴. Senpleman ale nan nimewo binè a de dwat a goch pa gwoupman chif binè 4 pa 4: chak pake 4-bit se reprezantasyon binè yon chif baz 16. Nan baz 16, 16 senbòl yo bezwen ak konvansyonèl, nou itilize 10 desimal la. chif apre 6 premye karaktè alfabè a dapre règ sa a: A₁₆ = 10₁₀ = 1010₂, B ₁₆ = 11₁₀ = 1011₂, C₁₆ = 12₁₀ = 1100 ₂, D₁₆ = 13₁₀ = 1101₂, E₁₆ = 14 ₁₀ = 1110₂ ak F₁₆ = 15₁₀ = 1111₂.
  • Y ap ekri 10101101110₂ 101 0110 1110 epi lè nou konvèti valè chak blòk yo an desimal nou jwenn: 5, 6, 14 sa vle di 56E₁₆.

Nou ta ka fasilman pwolonje prensip sa a nan tout baz ki se pouvwa 2.

Nan direksyon binè

Senpleman konvèti valè chak chif nan fòm binè yo lè l sèvi avèk yon kantite chif ki koresponn ak pouvwa baz la: 16 = 2⁴, 8 = 2³, kidonk 4. chif pou egzadesimal ak 3 pou oktal:

• 1A2F₁₆ pral ekri 1 ⇒ 0001, A ⇒ 1010, 2 ⇒ 0010, F ⇒ 1111, oswa 0001 1010 0010 1111₂.
• Y ap ekri 156₈ 1 ⇒ 001, 5 ⇒ 101, 6 ⇒ 110, oswa 001 101 110₂.

Tablo valè gwoupman binè chif

Binè Desimal Octal Egzadesimal 0000 0 0 0 0001 1 1 1 0010 2 2 2 0011 3 3 3 0100 4 4 4 0101 5 5 5 0110 6 6 6 0111 7 7 7

Binè Desimal Octal Egzadesimal 1000 8 10 8 1001 9 11 9 1010 10 12 A 1011 11 13 B 1100 12 14 C 1101 13 15 D 1110 14 16 E 1111 15 17 F

Kòd gri oswa binè reflete

Kòd gri, yo rele tou binè reflete, pèmèt sèlman yon ti jan chanje nan yon moman lè yon nimewo ogmante oswa diminye pa yon inite. Non kòd la soti nan enjenyè Ameriken an Frank Gray, ki te depoze yon patant sou kòd sa a an 1947.

Pou kalkile dirèkteman kòd Gray yon nonb nonb antye ki soti nan predesesè li a, nou ka kontinye jan sa a:

• lè gen yon nimewo menm nan 1, dènye bit la envèse;
• lè gen yon nimewo enpè nan 1s nou envèse ti jan an dirèkteman sou bò gòch la nan 1 ki pi adwat la.

Binè kode desimal (BCD, oswa BCD pou (en) binè kode desimal)

Pou rekonsilye lojik binè òdinatè a ak lojik imen, nou ka konvèti an binè, olye ke nimewo yo tèt yo, chak nan chif ki konpoze yo nan notasyon desimal pozisyon. Lè sa a, chak nan chif sa yo kode sou 4 bit:

 1994 = 0001 1001 1001 0100
       1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1

Avèk n bit (n miltip 4), li posib pou reprezante nimewo ant 0 ak 10^n/4-1. Oswa apeprè ant 0 ak 1.778ⁿ-1. DCB a se yon kòd redondants, an reyalite sèten konbinezon yo pa itilize (tankou 1111 pou egzanp).

Reprezantasyon sa a evite pa konstriksyon tout pwoblèm yo anmèdan nan awondi kimilatif ki ta leve lè w ap manyen gwo nonb ki depase gwosè sikui yo nan aritmetik nonb antye relatif epi ki mande pou w ale nan pwen k ap flote. Sepandan, li posib pou manipile nimewo presizyon abitrè lè l sèvi avèk yon kodaj ki pi efikas pase DCB.

Gen varyasyon nan kodaj DCB:

• Kòd Aiken kote 0, 1, 2, 3, 4 yo kode tankou nan DCB ak 5, 6, 7, 8, 9 yo kode soti nan 1011 a 1111; kòd sa a pèmèt ou jwenn konpleman 9 nan pèmitasyon 1 yo ak 0 yo;
• kodaj binè ki depase 3, ki konsiste de reprezante chif yo dwe kode + 3.

Istwa

• Egzagram Chinwa, ki pita rekonèt kòm premye ekspresyon nimerasyon binè, parèt nan Yi Jing alantou 750 BC (Western Zhou period) men siyifikasyon matematik yo, si li te konnen, te ansuit bliye.
• Endyen matematisyen Pingala yo bay yon tablo ki reprezante 0 a 7 nan nimerasyon binè, nan Chandaḥ-śāstra li ki date petèt nan twazyèm oswa dezyèm syèk la. BC.
• Anviwon 1600, matematisyen angle Thomas Harriot te fè operasyon nan nimerasyon binè, jan sa pwouve pa sèlman maniskri li te pibliye yo te fèk pibliye.
• An menm tan Francis Bacon te itilize yon kòd sekrè (de lèt) pou pwoteje mesaj li yo: li ranplase lèt mesaj la ak pozisyon yo an binè, apre sa 0 ak 1. pa A ak B. Egzanp: lèt E → 5 → 00101 → kode AABAB.
• John Napier, matematisyen Scottish ak envanteur logaritm, nan trete li Rabdology ki te pibliye an 1617, dekri twa sistèm pou fasilite kalkil, youn ladan yo ki rele ' 'Checkerboard, se binè.
• Espayòl Caramuel nan Mathesis biceps vetus et nova li te pibliye an 1670, sanble se premye moun ki te bay yon etid sou nimerasyon ki pa dezimal, ki gen ladan binè, yon fason konsiy.
• Leibniz te kredite li te etidye sistèm binè a pou tèt li, ki montre kouman kat operasyon yo pratike ("si fasil ke yon moun pa janm bezwen eseye anyen oswa devine, jan yo dwe fè nan divizyon òdinè.  » ), te note ke kalkil sa a "se pi fondamantal pou syans, ak bay nouvo dekouvèt", e menm konsidere ke "sa a ta ka kalite kalkil tou fèt ak yon machin (san wou ), nan fason sa a sètènman trè fasil ak efor. Avèk yon bwat ki gen twou, ki ka louvri epi fèmen. »
  Anplis de sa, li te kominike "a R. P. Bouvet, yon Jezuit pi popilè franse, ki abite Beijing, fason (li) konte pa 0 ak 1, li pa t pran plis pou li. fè li rekonèt ke li se kle nan figi Fohy yo", nan 1701. Se konsa, enigm egzagram yo ki te atribiye a Fuxi te dechifre, epi Leibniz te fè ekspozisyon li sou sistèm binè a pibliye pa Akademi Syans nan Pari an 1703.
• An 1847 George Boole te pibliye premye travay yoaljèb binè li a, ki rele Boolean, li aksepte sèlman de valè nimerik: 0 ak 1.
• 1872 : piblikasyon yon aplikasyon sistèm binè pou rezoud pwoblèm bagonodier (teyori Baguenodier pa yon grefye notè Lyon, 1872)
• 1876: L.-V. Mimault ranpli patant 3011 konsènan:
  • plizyè sistèm telegrafik, enprime ak ekri ki baze sou konbinezon mekanik oswa grafik ki soti nan “(X + 1) nan pouvwa m”;
  • plizyè sistèm telegraf, enprime ak ekri ki baze sou konbinezon pwogresyon 1: 2: 4: 8: 16.

Aplikasyon

Teyori enfòmasyon

Nan teyori enfòmasyon, entropi yon sous enfòmasyon eksprime an bit. Teyori nan tèt li se endiferan nan reprezantasyon an nan kantite yo li itilize.

Lojik

Lojik klasik se yon lojik bivalan: yon pwopozisyon swa vre oswa fo. Kidonk, li posib pou reprezante verite yon pwopozisyon pa yon nonm binè. Pa egzanp, nou ka modle operasyon aritmetik binè lè l sèvi avèk Boole algebra.

Aljèb booleyen reprezante yon ka trè patikilye nan itilizasyon probabilite yo ki enplike sèlman valè verite 0 ak 1. Gade teyorèm Cox-Jaynes.

IT

Binè yo itilize nan enfòmatik paske li fè li posib pou modèl operasyon konpozan "chanje" tankou TTL oswa CMOS. Prezans yon papòt vòltaj atravè tranzistò yo, neglije valè egzak vòltaj sa a, pral reprezante 0 oswa 1. Pa egzanp, nimewo 0 a pral itilize pou vle di yon absans vòltaj nan 0,5 V fèmen, ak nimewo 1 pou siyifi prezans li nan plis pase 0,5 V. Marge tolerans sa a fè li posib pouse vitès mikwo-pwosesè yo nan valè ki rive nan plizyè gigahertz.

Nan enfòmatik, reprezantasyon binè a fè li posib pou manipile klèman bit: chak chif binè koresponn ak yon ti. Sepandan, reprezantasyon binè a mande pou yo sèvi ak anpil chif (menm pou ti nimewo byen piti), li lakòz gwo pwoblèm nan lizibilite ak kidonk risk erè transcription pou pwogramè yo. Se poutèt sa, nou pito lòt reprezantasyon: notasyon egzadesimal, ki pèmèt enfòmasyon yo manipile nan pake 4 bit, adapte ak prèske tout mikwoprosesè aktyèl k ap travay ak mo 8 , 16, 32 oswa 64 bit ; pi rar, oktal notasyon, popilè nan epòk premye mini-òdinatè DEC nan 12 oswa 36 bit, ki pèmèt enfòmasyon yo reprezante pa pake 3-bit.

• 63 ₍₁₀₎ = 111111 ₍₂₎ = 77 ₍₈₎ = 3F ₍₁₆₎
• 64 ₍₁₀₎ = 1000000 ₍₂₎ = 100 ₍₈₎ = 40 ₍₁₆₎
• 255 ₍₁₀₎ = 11111111 ₍₂₎ = 377 ₍₈₎ = FF ₍₁₆₎
• 256 ₍₁₀₎ = 100000000 ₍₂₎ = 400 ₍₈₎ = 100 ₍₁₆₎

Referans

• (fr) Yon pati nan atik sa a oswa tout atik la soti nan Wikipedya en fransè Ki gen pou tit « Système binaire » (gade lis otè yo).

Lyen deyò

• (angle) en (en) Moun polinezyen yo te itilize nimewo binè sa gen 600 ane : Nouvèl Lanati & Kòmantè
• [videyo] Disponible sur (en) YouTubeL’argument language (valeur en) n’existe pas dans le modèle appeléL’argument title (valeur Yon entwodiksyon nan binè lè l sèvi avèk de men) n’existe pas dans le modèle appelé
• [videyo] Disponible sur (en) YouTubeL’argument language (valeur fr) n’existe pas dans le modèle appeléL’argument title (valeur Yon trik majik lè l sèvi avèk sistèm binè a) n’existe pas dans le modèle appelé