Aljèb lineyè

Aljèb lineyè se branch matematik ki konsène espas vektè ak transfòmasyon lineyè. Se yon fòmalizasyon jeneral de teyori sistèm ekwasyon lineyè.

R ³ se yon espas vektè 3 dimansyon. Liy ak plan ki pase nan orijin nan se sou-espas vektè.

Listwa

Aljèb lineyè Hussein Tevfik Pasha a

Aljèb lineyè te inisye nan prensip li pa matematisyen Perse Al-Khwârizmî ki te enspire pa tèks matematik Endyen yo e ki te konplete travay lekòl grèk la, ki pral kontinye devlope pandan plizyè syèk . Li te pran pa René Descartes ki te poze pwoblèm jeyometri, kom detèminasyon an deb entèseksyon yo de dwat, nan tèm de yon ekwasyon lineyè, kidonk etabli yon pon ant branch matematik yo ki te separe avan. : aljèb ak jeyometri. Si li pa defini nosyon debaz aljèb lineyè ki se espas vektè, li deja sèvi ak li avèk siksè, epi itilizasyon natirèl sa a nan aspè lineyè ekwasyon manipile yo ap rete itilize nan yon fason ad hoc, ki fonde esansyèlman sou jeyometrik ki kache. lide. Apre dekouvèt sa a, pwogrè nan aljèb lineyè yo pral se limite a etid yo espesifik tankou definisyon ak analiz premye pwopriyete yo de detèminan pa Jean d'Alembert .

Li te sèlman nan XIXe syèk sa aljèb lineyè te vin yon branch matematik li menm. Carl Friedrich Gauss jwenn yon metòd jenerik pou rezoud sistèm ekwasyon lineyè yo epi Camille Jordan definitivman rezoud pwoblèm rediksyon andomòfis la. Nan 1843, William Rowan Hamilton (envanteur tèm vektè a) te dekouvri kwaternyon (degre 4 ekstansyon de ko nimewo reyèl ). Nan 1844, Hermann Grassmann te pibliye trete li a Die lineale Ausdehnungslehre, Teyori Ekstansyon Lineye, ki te premye tantativ pou yon fòmalizasyon jeneral lide espas vektè a. Pandan ke travay li rete lajman inapèsi, li gen lide modèn yo esansyèl nan aljèb lineyè. Etap sa a fondamental nan devlopman d'aljèb lineyè, lide yo te rekonèt kònsa pa Hamilton ak Giuseppe Peano, ki te aksyomatize teyori a nan 1888. Lè sa a, espas vektè yo vin yon estrikti jeneral omniprésente nan prèske tout domèn matematik, espesyalman nan analiz ( espas fonksyon ).

Enterè

Nan fòm ki pi senp yo, apliikasyon lineyè nan espas vektè yo reprezante entwitifman deplasman yo nan espas jeyometrik elemantè tankou dwat la, plan an, oswa espas fizik nou. Kounye a baz teyori sa a ranplase reprezantasyon an ki Euclid te konstwi nan IIIe syèk la. Konstriksyon modèn fè li posib pou jeneralize nosyon espas nan nenpòt dimansyon.

Aljèb lineyè fè li posib pou rezoud yon seri antye ekwasyon lineyè yo ki se itilize pa sèlman nan matematik oswa mekanik, men tou nan anpil lòt branch tankou syans natirèl yo oswa syans sosyal yo .

Espas vektè tou fòme yon zouti fondamantal pou syans jeni epi sèvi kòm baz pou anpil domèn nan rechèch operasyonel .

Finalman, li se yon zouti ki itilize nan matematik nan domèn divès tankou teyori gwoup, bag yo, oswa kò yo, analiz fonksyonèl, jeyometri diferansyel oswa teyori nimewo .

Prezantasyon elemantè

Aljèb lineyè kòmanse ak etid vektè nan espas katezyen yo dimansyon 2 ak 3. Yon vektè, isit la, se yon klas ekivalans bipwen ki inifye segman liy ki se karakterize pa lonjè yo (oswa nòmal ), direksyon yo ak sans yo: de bipwen reprezante menm vektè a si kwadrilateral ki fòme sou kat pwen yo se yon paralelogram. Konsa, vektè yo se kapab itilize pou reprezante sèten antite fizik kòm deplasman, yo menm oswa miltipliye pa eskalatè ( nimewo ), konsa fòme premye egzanp konkrè nan yon espas vektè.

Aljèb lineyè modèn konsène anpil ak espas ki gen dimansyon abitrè, petèt enfini . Pifò nan rezilta yo jwenn nan dimansyon 2 oswa 3 yo ka pwolonje nan pi wo dimansyon fini, ki pèmèt yon entèpretasyon jewometrik nan lis nimewo (yon lis n nimewo ke yo te entèprete kòm yon vektè nan yon espas n -dimansyon).

Kelke teyorèm

• Teyorèm baz pa komplè : E se yon espas vektè, G se yon famni jeneratriz de E, e L yon fanmi lib de vekte yo de E. Epi egzist yon baz de E fome pa reyinyon an de L e yon pati de G
• Spesifikman, tout espas vektè gen omwen yon baz.
• Tout baz yo de menm espas vekte gen menm kadinal la.
• Tout espas vektè A gen yon espas doub A* ; si A gen dimensyon finie, A* gen menm dimensyon.
• Fomile de Grassmann : si $F$ et $G$ se de souzespas vekte yo de yon menm espas vekte. Nou gen konsa :$\dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G).$

Lòt teyorèm yo konsène kondisyon yo nan envesyon matriz divès kalite :

• matriz dyagonal ;
• matriz triyangile ;
• matriz à dyagonal dominan.

Yon teyorèm anteresan nan moman an lè memwa odinate te piti yo te kapab travay separeman sou souzansanm yo (blok yo) de yon matriz kombine yo ak menm règ yo ki nou te itilize pou kombine skale yo nan yon matriz

Avèk memwa modèn ak plisyè giga-oktè, biznis sa a te pèdi enterè pratik li, men te rete presye nan teyori nonm a, pou dekonpozisyon an faktè premye avèk krib jeneral de ko de nonm.