Fòs konsèvatif

Yo di yon fòs konsèvatif lè travay fòs sa a pwodui endepandan de chemen pwen aksyon li swiv la. Sinon, yo di fòs la se "ki pa konsèvatif".

Fòs konsèvatif gen twa pwopriyete remakab:

Yon fòs konsèvatif sòti nan yon [[enèji potansyèl]: ${\textstyle {\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}E_{p}=-\operatorname {\overrightarrow {grad}} E_{p}}$ ;
travay fòs la egzèse egal a opoze a varyasyon enèji potansyèl la: $W_{A\rightarrow B}=E_{p}(A)-E_{p}(B)$ ;
Enèji mekanik nan yon sistèm, sòm enèji sinetik la ak enèji potansyèl la, sijè sèlman a aksyon fòs konsèvatif se konsève: $\Delta E_{m}=0$ ; enèji potansyèl konvèti an enèji sinetik.

Yon sistèm ki se sèlman sijè a fòs konsèvatif kenbe enèji li ak mas li endefiniman, san echanj ak anviwònman an. Sa a se laverite sèlman pou sistèm kontinyèl, envaryab ak ideyal, epi li konstitye sèlman yon apwoksimasyon pou sistèm reyèl k ap sibi transfòmasyon revèsib pou ki nou chèche yon modèl senplifye ki valab nan sèten kondisyon ; jeneralman pou ti deplasman, transfòmasyon kwazi-estatik, nan presyon ki ba, nan tanperati ki ba

Yon "fòs disipatif" se yon fòs ki pa konsèvatif ki diminye enèji mekanik nan yon sistèm. Fòs disipatif ki aji sou yon objè toujou opoze mouvman objè a epi kidonk toujou fè travay negatif. Egzanp sa yo se fòs friksyon, rezistans lè, ak rezistans likid.

Definisyon

De chemen posib ant

A

ak

B

.

Yo di yon fòs ${\textstyle {\vec {F}}}$ se "konsèvatif" si travay $W A \to B$ ki pwodui pa fòs sa a, lè pwen aplikasyon li deplase nan yon pwen $A$ nan yon pwen $B$ , se endepandan de chemen ki te swiv la^[1]^,^[2].

Si nou konsidere yon patikil k ap deplase soti nan yon pwen $A$ nan yon pwen $B$ , sou ki yon fòs egzèse konsèvatif, pou de trajectoire $C 1$ ak $C 2$ ki konekte pwen $A$ nan pwen $B$ , fòs la bay menm travay la:

$W_{\scriptstyle A\rightarrow B}=\int _{C_{1}}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\int _{C_{2}}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}.$

Yon konsekans imedya se ke nan ka yon trajectoire fèmen $C$ (sa vle di si patikil la retounen nan pozisyon inisyal li), travay yon konsèvatif fòs se nil^[3]: $W_{\scriptscriptstyle C}=\oint _{C_{1}+C_{2}}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=0.$

Soti nan pwen de vi tèrmodinamik, yon transfòmasyon jeneral soti nan $A$ rive nan $B$ ki obeyi lwa sa a se yon ka espesyal. nan transfòmasyon revèsib: li se adyabatik kidonk isentropik, men tou, izotèmal.

Enèji potansyèl yon fòs konsèvatif

Egzistans potansyèl

Konsidere yon fonksyon fòs konsèvatif nan pozisyon pwen aplikasyon li a, sa vle di ke ${\textstyle {\vec {F}}}$ se yon fonksyon kowòdone $' 'x$ , y ak z. Gras a endepandans chemen ki te swiv la, kèlkeswa trajèktwa ki fèmen C, travay fòs la se zewo:

W_{\scriptscriptstyle C}=\oint _{C}{\vec {F}}(x,y,z)\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=0

.

Dapre teyorèm Stokes^{[alpha 1]}: ${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {F}}={\vec {0}}$ . Relasyon sa a implique ^{[alpha 2]}^{[alpha 3]} ke genyen yon chan eskalè $E p (x, y, z)$ tankou:

${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}\,E_{p}=-\operatorname {\overrightarrow {grad}} E_{p}.$

Chan $E p$ , omojèn nan yon enèji, yo rele enèji potansyèl nan fòs la. Dapre definisyon li yo, jaden $E p$ defini jiska yon konstan. Valè lèt la jeneralman abitrè, nan ka sa a li chwazi yo nan lòd yo senplifye kalkil yo. Siy " $-$ " kenbe abitrèman nan majorite ka yo pou yon pozisyon ekilib ki estab koresponn ak yon minimòm enèji potansyèl ki asosye.

Resipwòk

Okontrè, konsidere yon fòs ${\vec {F}}$ ki soti nan yon potansyèl $E p$ :

{\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}\,E_{p}=-\operatorname {\overrightarrow {grad}} E_{p}

.

Lè nou remake <mathrm>\mathrm d E_p=\vec{\nabla}E_p\cdot \mathrm{d} \vec{\ell}</math> se yon fòm diferans egzak, nou jwenn ke travay fòs la pran ekspresyon an:

W_{\scriptscriptstyle A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\int _{A}^{B}-{\vec {\nabla }}E_{p}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=-\int _{A}^{B}\mathrm {d} E_{p}=E_{p}(A)-E_{p}(B).

Travay la Se poutèt sa sèlman depann sou diferans lan nan enèji potansyèl. Travay yon fòs ki sòti nan yon potansyèl Se poutèt sa pa depann de chemen ki te swiv la, yon fòs konsa se konsèvatif.

Konsèvasyon enèji mekanik

Yon fòs konsèvatif verifye konsèvasyon enèji mekanik si potansyèl li pa depann klèman sou tan. Fòs "konsèvatif" yo nonmen konsa paske enèji mekanik yon sistèm sibi aksyon fòs sa yo rete konstan: enèji mekanik sistèm nan konsève. Pwopriyete sa a se yon konsekans imedya teyorèm enèji sinetik. Pou yon patikil vwayaje yon trajectoire ki konekte yon pwen $A$ ak yon pwen $B$ epi sibi plizyè fòs, nou genyen sou yon bò. egalite ant varyasyon enèji sinetik la ak travay fòs yo:

{\underset {\scriptscriptstyle A\rightarrow B}{\Delta }}E_{c}=E_{c}(B)-E_{c}(A)=W_{\scriptstyle A\rightarrow B}=W_{\scriptstyle A\rightarrow B}^{\ \mathrm {nc} }+W_{\scriptscriptstyle A\rightarrow B}^{\ \mathrm {c} }

,

epi yon lòt bò, travay fòs konsèvatif yo jwenn nan varyasyon potansyèl ant pwen $A$ ak $B$ :

W_{\scriptscriptstyle A\rightarrow B}^{\ \mathrm {c} }=E_{p}(A)-E_{p}(B)\,

;

apati nou dedwi teyorèm enèji mekanik la:

{\underset {\scriptscriptstyle A\rightarrow B}{\Delta }}E_{m}={\underset {\scriptscriptstyle A\rightarrow B}{\Delta }}(E_{c}+E_{p})=E_{m}(B)-E_{m}(A)=W_{\scriptscriptstyle A\rightarrow B}^{\ \mathrm {nc} }

.

Nan absans fòs ki pa konsèvatif, nou obsève ke enèji mekanik sistèm nan, sòm enèji sinetik la ak enèji potansyèl la, konsève:

{\underset {\scriptstyle A\rightarrow B}{\Delta }}E_{m}={\underset {\scriptscriptstyle A\rightarrow B}{\Delta }}(E_{c}+E_{p})=0.

Espresyon ki pi wo a montre ke enèji mekanik distribye ant enèji sinetik ak enèji potansyèl, epi se poutèt sa ka pase youn apre lòt youn ak lòt. Enèji potansyèl se enèji ki ka "potansyèlman" transfòme an enèji sinetik.

Egzanp

Fòs konsèvatif

Men kèk egzanp fòs konsèvatif:

fòs gravitasyonèl ${\vec {F}}({\vec {r}})=m\,{\vec {G}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\left(m\,\Phi ({\vec {r}})\right)$ ki sòti nan enèji potansyèl gravitasyonèl la $E_{p}({\vec {r}})=m\,\Phi ({\vec {r}})$ ;
fòs elektwostatik ${\vec {F}}=q\,{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\,(q\,V)$ sòti nan enèji potansyèl elektrik la ${\textstyle E_{pe}=q\,V}$ ;
fòs rèstore yon ideyal resò ${\textstyle {\vec {F}}=-k\,x\,{\vec {e}}_{x}}$ derive nan enèji potansyèl elastik la ${\textstyle {E_{p,el}}={\frac {1}{2}}k\,{x}^{2}}$ ;
plis jeneralman, fòs yon kò egzèse ak defòmasyon elastik ${\textstyle {\vec {F}}=-E\,S\,\varepsilon \,{\vec {e}}_{x}}$ tire enèji potansyèl elastik ${\textstyle {E_{p,el}}={\frac {1}{2}}E\,S\,{\varepsilon }^{2}}$ .

Li ta dwe remake ke kò reyèl yo pa janm parfe elastik nan ka jeneral la ak prèske toujou sibi fòs ki pa konsèvatif (omwen, friksyon). Konpòtman reyèl yo kapab sèlman apwoksimasyon pa yon modèl piman elastik (ideyal) nan kondisyon egzak: ti deformation pwosesis kwazi-estatik ak san ranpe.

Ka fòs ki pa travay

Fòs ki aji pèpandikilè ak mouvman an pwodui zewo travay sou sistèm nan. Se poutèt sa li pa depann de chemen ki te swiv la: fòs sa yo ka klase nan kategori fòs konsèvatif^[4]. Sepandan, gen kèk otè^[3]^,^[5] klase yo pami fòs ki pa konsèvatif paske yo pa depann sèlman de pozisyon sistèm nan: yo depann de vitès oswa tan. Konsiderasyon sa yo pa gen anpil enpòtans paske fòs sa yo pa patisipe nan varyasyon enèji mekanik sistèm nan.

Kèk egzanp fòs ki pa travay:

fòs mayetik ${\vec {F}}=q\,{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$ ki egzèse sou yon patikil chaj elektrik $q$ deplase ak vitès ${\textstyle {\vec {v}}}$ benyen nan yon chan mayetik konstan: travay li $W A \to B$ toujou zewo paske fòs la egzèse pèpandikilè ak direksyon $\ vec{v}$ . Sèlman direksyon patikil la chanje: enèji sinetik li rete san chanjman. Sa a se pa ka a ankò si jaden an mayetik varye sou tan paske li pwovoke yon chan elektrik varyab;
fòs reyaksyon yon sifas toujou pèpandikilè ak sifas la. Travay li lè w ap deplase yon sistèm sou sifas sa a se pou sa zewo.

Fòs ki pa konsèvatif

Travay fòs ki pa konsèvatif yo depann de chemen ki te swiv la. Depandans sa a sou chemen ki swiv la manifeste tèt li pa yon konvèsyon nan travay mekanik nan yon lòt fòm enèji, kòm transfòmasyon an ap pwogrese:

fòs friksyon (solid oswa likid): travay la konvèti an chalè;
Fòs presyon ak viskozite: travay la konvèti an tibilans nan mwayen likid ekstèn lan apre sa nan chalè;
fòs deformation yo pandan yon chòk inelastik: travay la kraze lyezon chimik;
fòs elektrik ki egzèse sou yon patikil chaj elektrik $q$ nan yon jaden elektrik ki pwodui pa yon chan mayetik varyab sou yon chemen fèmen egzèse travay ki pa zewo^[6]^,^{[alpha 4]}.

Gade tou

Atik ki gen rapò

Nòt

↑ Ekspresyon komen li nan fizik se teyorèm wotasyon $\textstyle \oint _{C}{\vec {F}}\cdot \ mathrm{d}{\overrightarrow {\ell }}=\iint _{S}\left({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {F}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$ .
↑ Konnen konpozisyon operatè yo wotasyonèl ak gradyan $\textstyle {\vec {\nabla }}\wedge \left({\vec {\ nabla}}\,U\right)={\vec {0}}$ .
↑ Isit la nou evidamman sipoze ke espas anbyen se $\textstyle \mathbb {R} ^{3}$ oswa omwen yon varyete kontraksyon. Aplike teyorèm Poincaré pral asire ke yon fòm fèmen se egzak nan ka sa a. Se konsa, isit la $\textstyle {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {F}}={\vec {0}}\implies \exists U,{\vec {F}}={\vec {\nabla }}U$ .
↑ $\textstyle W_{C}=q\oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=q\iint _{S}\left({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-q\iint _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-q\,{\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}$

Referans

↑ (en) Mekanik pou enjenyè vol.2, (ISBN 978-2-8041-0510-5)
↑ (en) Fizik, yon entwodiksyon, (ISBN 978-2-8041-5573-5)
↑ ^3,0 et ^3,1 (en) Fizik I, Louvain-la-Neuve/Paris, (ISBN 978-2-8041-9369-0)
↑ (en) Tout fizik nan men ou - 2yèm ed., (ISBN 978-2-10-074804-4)
↑ Electrostatics and magnetostatics, Lavoisier, (ISBN 978-2-7462-3148-1)
↑ (en) Fizik jeneral, (ISBN 978-2-8041-1701-6)

[4] Ekspresyon komen li nan fizik se teyorèm wotasyon $\textstyle \oint _{C}{\vec {F}}\cdot \ mathrm{d}{\overrightarrow {\ell }}=\iint _{S}\left({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {F}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$ .

[5] Konnen konpozisyon operatè yo wotasyonèl ak gradyan $\textstyle {\vec {\nabla }}\wedge \left({\vec {\ nabla}}\,U\right)={\vec {0}}$ .

[6] Isit la nou evidamman sipoze ke espas anbyen se $\textstyle \mathbb {R} ^{3}$ oswa omwen yon varyete kontraksyon. Aplike teyorèm Poincaré pral asire ke yon fòm fèmen se egzak nan ka sa a. Se konsa, isit la $\textstyle {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {F}}={\vec {0}}\implies \exists U,{\vec {F}}={\vec {\nabla }}U$ .

[10] $\textstyle W_{C}=q\oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=q\iint _{S}\left({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-q\iint _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-q\,{\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}$

[1] (en) Mekanik pou enjenyè vol.2, (ISBN 978-2-8041-0510-5)

[:0-2] (en) Fizik, yon entwodiksyon, (ISBN 978-2-8041-5573-5)

[:2-3] 3,0 et ^3,1 (en) Fizik I, Louvain-la-Neuve/Paris, (ISBN 978-2-8041-9369-0)

[:1-7] (en) Tout fizik nan men ou - 2yèm ed., (ISBN 978-2-10-074804-4)

[8] Electrostatics and magnetostatics, Lavoisier, (ISBN 978-2-7462-3148-1)

[9] (en) Fizik jeneral, (ISBN 978-2-8041-1701-6)

[1]

[2]

[3]

[alpha 1]

[alpha 2]

[alpha 3]

[4]

[5]

[6]

[alpha 4]