Gradyan

Nan matematik ak fizik, gradyan yon fonksyon se pousantaj varyasyon li selon pozisyon (nan sans laj). Pa egzanp, nan meteyoloji, gradyan tanperati a se pousantaj varyasyon tanperati a ak altitid ; li mezire an °C/hm (Modèl:Cad degre Sèlsiyis pou chak san mèt).

Chak jaden eskalè reprezante pa yon gradyan (blan = valè ki ba, nwa = valè segondè). Chak gradyan se yon jaden vektè, reprezante pa flèch ble; chak pwen nan direksyon kote jaden eskalè a ap grandi pi rapid.

Fonksyon de varyab f(x, y) = x e^{−(x2 + y2)} koresponn ak tanperati a (ble = valè ki ba = frèt, wouj = gwo valè = cho). Grayan f se yon jaden vektè, ki reprezante pa flèch ble yo; chak pwen nan direksyon kote tanperati a ogmante pi rapid la.

Pou yon fonksyon $f:U\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, gradyan f fizyone ak derive f. Pou yon fonksyon $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, kote n se yon nonb antye relatif ≥ 2, gradyan nan f nan yon pwen se yon vektè ki gen direksyon ki pi fò varyasyon f nan katye pwen sa a. Nosyon sa a lye ak diferansyèl pou fonksyon ki gen valè reyèl: si f diferansyab nan a, diferans Df ( a) se yon fòm lineyè; ak fòm lineyè sa a, si ansanm kòmanse E nan dimansyon fini, nou ka asosye yon vektè ki se gradyan f nan a.

Pa egzanp, si yon fonksyon $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ diferansyab nan pwen a, lè sa a gradyan li se vektè a, ki endike lè l sèvi avèk operatè nabla:

${\overrightarrow {\nabla }}f(a)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}(a)\\{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)\\{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)\end{pmatrix}},$

kote ${\frac {\partial f}{\partial x}}(a),{\frac {\partial f}{\partial y}}(a),{\frac {\partial f}{\partial z}}(a).))$ se derive pasyèl f nan pwen a parapò ak varyab x, y, z respektivman. Varyasyon f nan katye a pou yon ti varyasyon $h=(x_{h},y_{h},z_{h})$ se:

$f(a+h)-f(a)\approx {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)\ x_{h}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)\ y_{h}+{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)\ z_{h}.$

Nan chak pwen kote f diferan, nou ka defini yon vektè; fanmi vektè sa yo fòme yon chan vektoryèl. Yo rele jaden sa a gradyan fonksyon f epi li note ${\overrightarrow {\nabla }}f.$ Se yon fonksyon ki defini sou seri $U\subset E$ nan pwen E kote f se diferans, ak valè nan E.

Gradyan an fè li posib pou apwoksimatif fonksyon plizyè varyab lè l sèvi avèk fòm lineyè. Li itil nan fizik, men tou nan jewometri pou detèmine nòmal yo nan liy nivo oswa nan izosifas yo.

Definisyon

Jaden eskalè f(x,y) = −(cos ²x + cos²y)² reprezante pa nap zoranj la. Grayan f se yon jaden vektè, ki reprezante pa flèch ble yo; chak pwen nan direksyon kote f ap grandi pi rapid.

Nan yon sistèm kowòdone katezyen, gradyan yon fonksyon f diferansyab nan pwen $a=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ se vektè yo note. $\nabla f(a)$ konpozan ${\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)~$ (kote i = 1, 2, ..., n), Modèl:Cad derive pasyèl nan f ki gen rapò ak kowòdone yo, nan pwen a:

$$\nabla f(a)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.$$

Nan yon repè òtonome, si vektè gradyan an pa zewo, lè sa a li lonje dwèt nan direksyon kote fonksyon an grandi pi rapid, epi nòm li se egal a to kwasans lan nan direksyon sa a.

Konpozan gradyan f se koyefisyan varyab yo nan ekwasyon redwi espas tanjant nan pwen a nan graf f. Pwopriyete sa a pèmèt yo defini l poukont chwa sistèm kowòdone, kòm yon jaden vektè ki gen eleman transfòme lè yo pase soti nan yon sistèm kowòdone nan yon lòt.

Jeneralizasyon gradyan an nan fonksyon diferansye plizyè varyab ak nan valè vektè (ak aplikasyon diferans ant espas Euclidean) se Matris Jakobyèn. Jeneralizasyon nan fonksyon ant Espas Banach se Derive Fréchet.

Relasyon vektoryèl

Nan analiz vektoryèl, gradyan an ka konbine avèk lòt operatè yo: divèjans (div), wotasyonèl, laplasyen ( Δ). Se pou f yon fonksyon ki dekri yon chan eskalè, ke nou sipoze nan klas C² parapò ak chak paramèt; KONSA:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\right)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}{\frac {\partial f}{\partial t}}\ ;$

$\mathrm {div} \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\right)=\Delta f\ ;$

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\right)={\overrightarrow {0}}.$

Nòt ak referans

Gade tou

Sou lòt pwojè yo :

gradient, sou Wiktionnaire

Bibliyografi

• (angle) en Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry, Springer
• (angle) en Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2e éd. révisée (ISBN 9780120887354)