Postila Bètran

Postila BètranModifier

Ant yon antye n ki pi gran ke 1 e doub antye sila a, toujou gen yon nonm premye. se yon teyorèm ki te konjektire pa Bertrand e ki demontre an 1850 pou lapremyè fwa pa matematisyen ris Tchebycheff Gen plizyè varyant pou demontre teyorèm oubyen postila a. Men de ladan yo ki privilejye apwòch elemantè.

Premyè demonstrasyonModifier

Premye lèmModifier

Premyè demach la ap mennen nou redemontre tankou yon lèm ke

  pou tout n ki siperyè ou egal ak 2 avèk

 

 

 

 

Nou pale de redemontre paske se yon demonstrasyon ki te la deja ....

An nou konsidere pwodui tout antye enpè yo divize pa pwodui tout antye pè yo ki enferyè oubyen egal ak 2n

Konfòmeman ak Arnel Mercier ak Jean Marie de Koninck an desiye pwodui sa pa P

 

An nou fè parèt anlè ya pwodui ki anba a

 


 

 

 


 



 


 


 


 


 


An nou konsidere



 


si nou devlope pwodui nap genyen

 


chak faktè yo estrikteman pozitif epi yo enferyè ak 1 , kidonk pwodui li menm tou enferyè ak 1.

 


 


 

sa ki bay

 

lè nou diseke nimeratè yo ak denominatè yo :


 


 


 

 



 


 

kidonk

 

Nou te wè ke

 


 

 

 


 

Fonksyon rasin kare kwasan, nou genyen :

 


 

Inegalite dwat la demontre

li pa fè answa apèl a oken nosyon nonm premye jiska prezan sinon ke faktoryèl la se nosyon de predileksyon nonm premye


Kounye an nou redemontre dezyèm pati inegalite, inegalite gòch la.

An nou konsidere pwodui sa :

 

chak faktè yo pozitif e enferyè ak 1, kidonk pwodui ya globalman enferyè ak 1.


 




 


 

 


 

sa ki bay

 


 


 


 


 


 

 


 

 

 

nou genyen

 

 



 


 


 


 


 

 

 

Inegalite goch la demontre

kidonk lè nou konbine inegalite goch la ak inegalite dwat la nou gen premye lèm


 

Dezyèm lèmModifier

An nou demontre yon dezyèm pwopozisyon sa ki va sèvi kòm lèm

 

An soulye ke fonksyon   Tchebychèf la defini konsa

  avèk   ...

Nan kad sa a nou sipoze ke n  

 

 


Inegalite a verifye pou n = 1 ak n = 2 .

An nou sipoze li vrè pou yon sèten  


kounye a an nou konsidere  

 



pou tou n siperyè ak 1, ekspresyon sa gen yon reyalite konkrè e se yon antye : se pa egzanp kantite souzansanm de n-1 eleman diferan ke nou ka fòme a pati de yon ansanm de 2n-1 eleman.

An nou gade byen nimeratè a ak denominatè a

 


Tout nonm antye non nil ki enferyè ak 2n-1 se yon divizè de nimeratè a , an patikilye tout nonm premye ki enferyè ou egal ak 2n-1 se yon divizè nimeratè a .

Menm konsiderasyon an ka fèt pou denominatè a jiska n .

An nou konsidere nonm premye p ki siperyè ak n e ki enferyè oubyen egal ak 2n-1.


 

 


 

kidonk yon faktè premye p ki tèl ke   pa senplifye.


  se donk miltipl non nil chak nonm premye tèl ke   . Se donk yon miltipl non nil pwodui tout nonm premye sila yo.

  siperyè oubyen egal ak pwodui nonm sa yo


 


Fonksyon Ln lan kwasant, nou genyen


 


tout fonksyon logaritm transforme pwodui an sòm logaritm


 


 


 



 


 


 


An nou konsidere inegalite dwat premye lèn lan oubyen dezyèm inegalite premye lèm lan

 

nou kapab ekri li 

 


An nou pran logaritm Neperyen de manm yon.

Kòm se yon fonksyon kwasant, nap genyen

 


 


 


An nou konbine



 


 


 


 


 

 

 


An nou pa bliye ke nou vle demontre kòm dezyèm lèm

 


An nou konsidere kòm Ipotèz e an montre ke li vre pou 2n - 1 ak 2n pou tout n > 2

 


 

....

kòm  

 

 

 


 


 

 

 

 


 


 

 


si nou gen   alò  

 

 

 


 


kidonk


 


pou tout  

si lèm lan vre pou n li vre pou 2n - 1

an nou pwouve rapidman ke inegalite vre pou 2n tou.

 

 

 

 

 

 

si inegalite a vre pou   li vre alafwa pou 2n - 1 ak 2n .

An nou montre kounye a si fòmil la vrè pou entèval   alò li vrè pou entèval  

Avan nou montre sa an nou verifye ke ingalite a vrè pou entèval  

Inegalite a vrè pou n = 2 selon enplikasyon avan an li vrè pou   ki donk li vre e pou 3 e pou 4. Pwopriyete a vrè pou   oubyen ankò li vrè pou   Pwopriyete a vrè pou  


Ipotèz rekirans

An nou konsidere ke inegalite sou tout entèval   la e an nou montre ke li vrè pou tout entèval

  la tou .

An nou pran yon antye m kèlkon sou entèval

 

sa vle di  

 


Nan de bagay ki ekskli yo youn lòt, nou gen youn fòseman.

m se yon nonm pè ou m se yon nonm enpè

1)

m pè  


 

ò pa ipotèz rekirans, inegalite a vrè pou tout n ki nan entèval presedan an. Inegalite a vrè pou   Kidonk selon premyè dediksyon an li vrè pou  . Li vre donk pou tout m pè ki nan entèval  

2)

m enpè  

 


selon ipotèz rekirans

 

inegalite a vrè pou tout n ki nan entèval presedan an. Inegalite a vrè pou   

Kidonk selon premyè dediksyon an li vrè pou  . Li vrè donk pou tout m enpè ki nan entèval  



An fendkont pwopriyete a vrè pou tout  


 

Teyorèm LegendreModifier

Si nou gen yon nonm premye fiks, pi gwo ekspozan k tèl ke   alò

 

 

An nou demontre sa pa rekirans

fòmil la vrè pou  

 

 

 

an sipoze fòmil la bon pou   epi an nou montre li bon pou  


swa  


 


 


 


 


 


 


 


selon ipotèz rekirans lan

ò  

 

ak

 

enplike

 

Sa ki enplike

 


kidonk si fòmil la vrè pou   li vrè pou   kidonk li vrè pou tout antye n ki pa egal ak zero.

Premyè demonstrasyon an answaModifier

An nou montre an premye lye ke  

pou chak   sa ki va pwouve ekzistans de yon nonm premye pou pi piti nan entèval   pou chak  

An nou konsidere yon lòt fwa nonm

 

 

Oken nonm premye ki siperyè ak 2n pa yon divizè de N .

Tandiske tout nonm premye ki konpri ant n ekstrikteman ak 2n lajman divize N yon sèl fwa.

An nou konsidere n ak 2n pou nou wè kisa ki rive.

 

si n premye, li parèt de fwa anlè a sou fòm n ak  

menm jan an li parèt 2 fwa anba a sèlman. Kidonk, n pa yon faktè de N.

Pou 2n , si   2n pa yon nonm premye.

Nan entèval   oubyen ankò   tout nonm premye se divizè N yon sèl fwa, paske nonm premye sa a prezante yon sèl fwa nan nimeratè a e li pa prezante nan denominatè a,

De tout fason nou ap gen pou nou retounen sou konsiderasyon sa a.

Si nou konsidere teyorèm Legendre lan nou kapab ekri :

 

An nou konsidere  

Pwodui sa vo 1 paske ekspozan toujou vo 0.

pou tout antye n > 1 , 2n pa premye kidon

 

pou tout  

  kidonk   pou tout  

 


Nou ka ekri

 


 


 


 


 

An nou pran logarithm Neperyen de manm egalite ya.


 

 


 

An nou diseke sòm sa an 4 tèrm .


 

pou premye tèm lan nou genyen :

 

....

kidonk

 


 



 

 


sou yon lòt ang

 


 

 

nou genyen sou baz ipotèz la

 

 

pou tout  





An nou konsidere dezyèm sòm lan


 


 


 

 

sou yon lòt ang ,

 


 


 


 


si p = 2

 

nap genyen lè sa a :

 


 

kidonk tou nou tap genyen

 


si  

An nou gade ki sa nou ap genyen

 

   

 

kidonk  

   


 

 

 

 

 

pou   e  


 

 


 


kidonk pou tout  


 


An nou konsidere twazyèm sòm lan


 

An konsidere nan ki kondisyon inegalite ki anba somasyon ak gen sans :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 




An nou endike dabò ke   toujou egal oubyen ak zero oubyen ak 1 .


anfèt pou tout reyèl x nou genyen

  egal oubyen a 0 oubyen ak 1 .

 

 

 

 

 


 

 

  egal swa zero soit 1 .


  vo 0 oubyen 1 si  

An nou montre ke li vo 0 nan tout lòt ka .

 

 

 

 


 

 

ò

  oubyen egal ak 1 oubyen egal ak 0

Kidonk  


 

 

 

 


 


 

 


 

Pou tout  

 



An nou konsidere katryèm sòm lan





 


An nou raple ke   swa egal ak 0 swa egal ak 1 .

yon lòt kote  


An nou gade apati de kilè   toujou vo zero pou yon p fikse


  , etandone ke i se yon antye natirèl ki pa egal ak 0 .


 


sou ipotèz  

 


 


 

 


 

 

 

 


An nou raple ke  


lè nou anvizaje tout estimasyon yo oswa tout estime yo nou kapab ekri :

pou tout  

 


 


 


 


Li rete pou nou pwouve ke   estriteman pozitif .

Nou te genyen  

 

 

 

 

 


 

Anplis lè   , nou genyen

 


 

yon lòt kote,   , etandone ke tout nonm pè pi gran ke 2 pa premye ou di mwens pa konpoze.

Nou vin genyen :


 


 


 





 


 

Li rete pou nou pwouve ke manm dwat la pi gran ke zero e konsa ant n ak 2n nap va asire ke gen o mwen yon nonm premye .

 



An nou pwouve ekivalans lan


 


 


 

 

An nou deziye pa  

 

An nou montre ke li pozitif pou tout  


An etann fonksyon an sou tout  

 


an nou pwouve ke  


 


 

an nou pwouve tou ke   pou tout  


kidonk fonksyon f la estriteman kwasant


 

 


 


 

oubyen

 

 



 


 

 


 

 


si nou miltiplye pa